Математика лекции и примеры решения задач Математический анализ Примеры вычисления интегралов Криволинейный интеграл Исследовать функцию Интегрирование тригонометрических выражений

Решение задач типового расчета по математике

5. Определение тройного интеграла

Пусть в замкнутой пространственной  области V определена непрерывная функция трёх переменных f(х, у, z). Разобьём область V на частичные, объёмы которых обозначим

Выберем в каждой частичной области произвольную точку, в которой вычислим значение функции , i = 1,2,...,п. Составим сумму

которая называется интегральной суммой для тройного интеграла.

Предел интегральной суммы (14) при

,

не зависящий от способа разбиения области V на частичные и от выбора точек , называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по

области V и обозначается 

В тройном интеграле f(x,y,z) называется подынтегральной функцией, dν - дифференциалом объёма.

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Приложения тройного интеграла

С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить:

1) объём области V по формуле

2) массу m тела V переменной плотностью

по формуле

 

Задача 1. Доказать, что (указать ).

.

 

при  выполняется неравенство , следовательно


b26c2da8
Вычисление длин дуг плоских кривых заданных в декартовых координатах