Векторы
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §5 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.
Примеры.
Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)
1. Найти координаты векторов 
.
Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):
;
; 
2. Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.
Решение: Для
того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно,
чтобы противолежащие стороны были параллельны и равны по длине. Иными словами,
векторы, образующие противолежащие стороны, должны быть равны: 
.
Для этого должны быть равны координаты этих векторов: 
,
следовательно, 
, откуда 
.
Таким образом, искомая точка D(0;4)
Даны
векторы: 
.
3. Найти скалярное произведение векторов 
и 
,
Решение: Найдем координаты указанных векторов:
,
.
Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:
4.
Найти векторное произведение векторов и ,
Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:
.
Таким
образом, 
5. Найти стороны и углы треугольника, образованного данными векторами,
отложенными из одной точки.
Решение: Стороны треугольника как длины образующих
его векторов можно найти, зная координаты этих векторов. Найдем предварительно
координаты вектора 
, образующего третью сторону треугольника. По правилу вычитания
векторов, 
. Теперь воспользуемся координатным выражением модуля вектора:
,
,
.
Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.
Угол А треугольника образован векторами 
, следовательно,
.
Угол
В образован векторами 
, следовательно,
.
Угол
С образован векторами 
, следовательно,
(этот угол тупой).
6. Найти площадь этого треугольника.
Решение:
Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом,
связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения.
Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения
векторов 
.
Векторное произведение векторов равно
.
Модуль найденного векторного произведения равен
.
Следовательно, площадь треугольника АВС равна
Вопросы и задачи
п1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена точками М и N на три
равные части. Найти вектор 
, если 
.
п2. Дано: 
. Доказать, что ABCD – трапеция. (Указание: найти вектор
и доказать, что 
)
п3. Даны точки: А(0;2;3), В(-1;2;5), С(4;-2;-3).
а) Найти координаты векторов
.
б) Найти координаты точки D, так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом
п4. Найти скалярное произведение
векторов 
и 
, если 
п5. Даны 2 вектора: 
. Будучи отложены из одной точки, они образуют две стороны
треугольника. Найти:
а) длины сторон этого треугольника, б) углы этого треугольника
п6. Найти векторное произведение векторов и , если 
п7. Найти площадь треугольника из задачи п5.
п8.
Пусть даны два вектора на плоскости: 
.
а) запишите в координатном выражении условие коллинеарности (параллельности) этих векторов.
б) запишите в координатном выражении условие перпендиклярности этих векторов.
в) существует ли векторное произведение этих векторов? (если да – найдите, если нет – объясните)
Задача 1. Исходя из определения производной, найти 
.
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение
касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой 
.
-уравнение нормали,
| Площадь в полярных координатах |
|