Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Метод замены переменной

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку . Тогда или . С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:

Пример Найти интеграл . Тройные и двойные интегралы при решении задач Определение тройного интеграла

Решение. Перепишем интеграл в виде Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл

Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = -; x = x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

Тройные и двойные интегралы при решении задач