Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Интегрирование гиперболических функций

Пример Вычислить .

Решение. Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то интеграл равен

Пример Найти интеграл . Вычисление производной порядок интегрирования Математика

Решение. По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем

  Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

 

 

Уравнения эволюты:

Окончательно: - это уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.

Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

 

Пример

При интегрировании положим а также используем равенство где – постоянная.

Пример

При интегрировании положим , а также используем равенство где и – постоянные.

Используя свойство инвариантности и формулу получим

.

.

.

Используя формулу получим:

1) ,

2) ,

3) .

Используя формулу получим:

1) ,

2) ,

3) .

Исходя из формулы , получим:

Геометрические приложения поверхностных интегралов