Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Метод замены переменной

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл как Используя замену получаем ответ

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем следующую подстановку: Следовательно,

  Найти предел .

 

;

 - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

 

;

 - применяем правило Лопиталя еще раз.

 

;

;

 

  Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Тройные и двойные интегралы при решении задач