Принимаем заказы на выполнение контрольных, курсовых, дипломных работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

 

Народная медицина

Соблазн возбуждающая  жвачка

Соблазн возбуждающая жвачка

 

KupiVip – крупнейший онлайн-магазин

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Renoven - антиварикозный   бальзам

Renoven - антиварикозный бальзам

ШефМаркет. Доставка продуктов с рецептами

Уборка   квартир в Москве

Уборка квартир в Москве

Дизайнерская мебель

Заказ и доставка билетов

Заказ и доставка билетов

 Академия Моды и Стиля

Академия Моды и Стиля

 

Интернет-магазин Olympus

Интернет-магазин Olympus<

Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Решение. Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что
Рис.3 Рис.4
Заметим, что Следовательно, Таким образом, мы получаем Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше). Уравнение стороны можно переписать в виде Найдем якобиан. Следовательно, и двойной интеграл становится равным

Площадь поверхности

Двусторонние поверхности. Рассмотрим сначала поверхность , представляющую собой график функции (1), имеющей непрерывные частные производные для всех , где - область на плоскости.

У этой поверхности, очевидно, есть 2 стороны: верхняя и нижняя. Верхняя сторона может быть охарактеризована тем, что из двух возможных направлений нормали к этой поверхности в любой ее точке выбирается то, которое составляет с осью острый угол (нижней стороне, соответственно, отвечает тупой угол между нормалью и осью ).

Пусть - точка этой поверхности, т.е. .

Уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет вид (2).

Напомним, что в общем уравнении плоскости числа представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2), - координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке . Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей мы получим 2 единичных вектора (3) и .

Известно, что координаты единичного вектора (3) – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями соответственно, т.е. . Т.к. , то . Кроме того, заметим, что .

Отметим, что , поэтому верхней стороне соответствует вектор .

Тройные и двойные интегралы при решении задач