Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Замена переменных в двойных интегралах

Пример

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Решение. Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5
Для упрощения области R сделаем замену переменных. Образ S области R определяется следующим образом: Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v. Отсюда следует Находим якобиан данного преобразования. Соотношение между дифференциалами имеет вид Теперь легко найти искомый интеграл:

Вычислить приближенное значение определенного интеграла

  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

  По формуле Симпсона получим:

  m

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  x

  -2

  -1

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  f(x)

2.828

3.873

  4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 

  Точное значение этого интеграла – 91.173

  Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Тройные и двойные интегралы при решении задач