Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Замена переменных в двойных интегралах

Пример Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Решение. Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Рис.6 Рис.7

Сделаем следующую замену переменных: Цель этой замены − упростить область интегрирования R. Найдем образ S области R в новых координатах u, v. Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан. так что Теперь можно вычислить двойной интеграл.

  Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Тройные и двойные интегралы при решении задач