Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2
Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник (рисунок 2). Используя ряд чисел { x0, x1, ..., xm }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение где - некоторая точка в прямоугольнике и . Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю: Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как
Рис.3Рис.4
 
Рис.5

Пример. Найдем , где - модуль радиус-вектора.

и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции.

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому - нормаль к касательной плоскости в т. и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.

Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Пусть - векторное поле, - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль . Назовем - потоком вектораКурс лекций математического анализачерез поверхность в указанную сторону.

Тройные и двойные интегралы при решении задач