Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz (рисунок 2).

Рис.2 Рис.3
Решение. Уравнение прямой AB в плоскости Oxy (рисунок 3) имеет вид: y = 2 − 2x. При этом переменная x изменяется в интервале 0 ≤ x ≤ 1, а переменная y − в интервале 0 ≤ y ≤ 2 − 2x. Составим теперь уравнение плоскости ABC в отрезках. Поскольку плоскость ABC отсекает отрезки 1, 2, 3, соответственно, на осях Ox, Oy и Oz, то ее уравнение имеет вид: В общем виде уравнение плоскости ABC записывается как Следовательно, пределы интегрирования по переменной z изменяются в промежутке от z = 0 до . Теперь можно вычислить объем заданного тетраэдра:

. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Тройные и двойные интегралы при решении задач