Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .

Решение. Окружность имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением , то двойной интеграл вычисляется следующим образом:

Пример Найти интеграл , заданный в области R, ограниченной прямыми . Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной ПРИМЕР. Разложить функцию в окрестности точки по формуле Тейлора при .

Решение. Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:
Рис.5 Рис.6

Пример . Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

.

Тогда

При интегрировании использованы формулы

.

Интегралы вида при вычислении используют тригонометрические формулы

Тройные и двойные интегралы при решении задач