Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Двойные интегралы в произвольной области

Пример Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Решение. Область интегрирования изображена выше на рисунке 6. Найдем точки пересечения прямой и параболы. Следовательно, линии, ограничивающие область R, пересекаются в точках (−3,−6) и (1,2). Тогда исходный двойной интеграл равен

Пример Найти интеграл , где область R ограничена линиями .

Решение. Область интегрирования описывается множеством и показана ниже на рисунке 7. Двойной интеграл равен Для вычисления последнего интеграла сделаем замену Если x = 0, то z = 0. Соответственно, при x = 1 имеем z = 1. Тогда интеграл легко вычисляется: Линейное программирование Постановка задачи. Графический метод.
Рис.7Рис.8

Пример Вычислить .

Используя первую формулу, получим:

Интегралы вида вычисляют, используя формулу и метод подведения под знак дифференциала.

Тройные и двойные интегралы при решении задач