Вычисление объемов Тройные и двойные интегралы Метод замены переменной Замена переменных в двойных интегралах Вычислить интеграл Двойные интегралы в полярных координатах Геометрические приложения двойных интегралов

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Вычислить объем эллипсоида

Решение. Объем эллипсоида удобно вычислить используя обобщенные сферические координаты. Пусть Поскольку модуль якобиана при трансформации декартовых координат в обобщенные сферические координаты равен то, следовательно, Объем эллипсоида выражается через тройной интеграл: В силу симметрии эллипсоида, мы найдем объем 1/8 его части, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. При этом обобщенные сферические координаты будут изменяться в пределах: Итак, объем эллипсоида равен Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

Найти предел . Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

 

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

Тройные и двойные интегралы при решении задач