Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Решение. Данное тело показано на рисунке 6.
Рис.6
Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен

Пример Описать тело, объем которого определяется интегралом . Пример. Методом сеток найти решения задачи

Решение.
Рис.7 Рис.8
Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями Ox, Oy и прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

Пример . Вычислить .

Преобразуем подынтегральное выражение

.

Тогда

При вычислении использованы формулы

 

Геометрические приложения поверхностных интегралов