Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 6).

Решение. Используем соотношение Длина кардиоиды выражается в виде Заметим, что при , и при . Следовательно, Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.
Рис.6 Рис.7

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.  Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Подстановки Эйлера

1)      Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

2)      Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

3)      Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(xx1)(xx2), то интеграл вида  рационализируется подстановкой  

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Геометрические приложения поверхностных интегралов