Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Решение. Сначала запишем компоненты векторного поля и определим частные производные: Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде В последнем равенстве двойной интеграл численно равен площади круга , то есть . Тогда интеграл равен

Пример Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки. Схема исследования графика функции Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика. 1. Найти область определения функции. 2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:

Решение. Запишем компоненты векторного поля и их производные: Тогда где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:
Рис.1 Рис.2

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Пример . Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей ,
где А, В, С – неопределенные коэффициенты. Найдем А, В, С.

. Пусть , тогда

. Пусть х=2, тогда или .

Пусть х=-1, тогда или .

Итак, . Имеем:

=

=

Случай . Знаменатель правильной дроби имеет только действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на линейные множители вида '' '', некоторые из них повторяются.

b26c2da8 Геометрические приложения поверхностных интегралов