Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2).

Решение. Применим формулу Грина Очевидно, здесь Следовательно, Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

Пример С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3).

Решение. В заданном криволинейном интеграле , так что Тогда по формуле Грина получаем Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом Метод Гаусса Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количеству вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2n! арифметических действий для нахождения решения системы линейных уравнений. При п = 5 это составит около 3000 действий, при п = 10 — около 3,6 ∙ 108 действий. При решении серьезных задач приходится иметь дело с системами уравнений порядка п = 100 и более. При таких масштабах даже суперкомпьютерам потребуется огромное время для вычисления решения. Кроме того, погрешности компьютерного округления чисел приводят к значительным ошибкам в расчетах численного решения систем уравнений большого порядка
Рис.3Рис.4

Пример

=

= =

=

Замечание. При интегрировании по частям к множителю '' '' следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании.

Так, в интегралах вида

, где – многочлен, за '' '' следует взять '' '', оставшееся выражение за '' ''

В интегралах вида

за '' '' следует взять выражение '' '', оставшуюся функцию взять за '' ''

Геометрические приложения поверхностных интегралов