Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Решение. Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде: Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем

Пример Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Решение. Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R. Используя параметрические уравнения окружности получаем Далее воспользуемся тригонометрической формулой Тогда криволинейный интеграл I1 равен Теперь вычислим двойной интеграл: В полярных координатах он становится равным Как видно, I1 = I2. Применение в экономике Предельные показатели в микроэкономике Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.

Пример

(положим тогда

) =

=

Пример

(положим тогда

) =

Замечание. Примеры, рассмотренные в п.4 можно было решить методом замены переменной, используя подстановку вида

Так, например, (положим тогда

) =

Вычислим используя подстановку

Имеем Тогда

.

Геометрические приложения поверхностных интегралов