коды Bug!
Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Пример Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Оценим несобственный интеграл Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла: Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример Исследовать ряд на сходимость. Определители и матрицы

Решение. Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда : Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ.  Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r,  тогда

Геометрические приложения поверхностных интегралов