Тройные и двойные интегралы Вычислить объем единичного шара Геометрические приложения криволинейных интегралов Вычислить площадь поверхности Несобственные интегралы Интегральный признак Коши Интегрирование гиперболических функций

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Интегрирование по частям

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Пусть . Тогда , так что интеграл переписывается в виде Чтобы вычислить новый интеграл, сделаем замену . В этом случае . В результате последний интеграл становится равным Отсюда находим искомый интеграл:

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем интегрирование по частям: . Полагаем . Тогда и интеграл записывается в виде Применим формулу интегрирования по частям еще раз. Пусть теперь . Следовательно, . Для первоначального интеграла получаем следующее уравнение: Решая это уравнение относительно неизвестного интеграла, находим Задача о вычислении массы тела

Пример

Свойство инвариантности формул интегрирования Вычислить пределы функций.

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если где то где – любая дифференцируемая функция.

Так, например, если , то где – функция от Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док). Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда

Геометрические приложения поверхностных интегралов