Расчет статически неопределимых рам с помощью метода сил Стойки и ригель стальной рамы

Изгиб балок на упругом основании Понятие о балках на упругом основании. Типы упругих оснований и их свойства. Условия контакта подошвы балки и упругого основания. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки на винклеровом упругом основании и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Случаи бесконечно длинных балок.

У к а з а н и я

 1. В заклепочных и болтовых соединениях при действии поперечной силы Q , проходящей через центр тяжести соединения, распределение этой силы между заклепками или болтами принимают равномерным.

 2. При действии на соединение момента, вызывающего сдвиг соединяемых элементов, распределение усилий на болты или заклепки следует принимать пропорционально расстояниям от центра тяжести соединения до рассматриваемого болта или заклепки.

 3. Болты или заклепки, работающие одновременно на срез и растяжение, следует проверять отдельно на срез и на растяжение.

Задача 3.1.1. Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения двух листов двумя накладками (рис. 3.1.5). Материалом для листов и заклепок служит дюралюминий, для которого Rbs = 110 МПа, Rbр = 310 МПа. Сила F = 35 кН, коэффициент условий работы соединения γb = 0,9; толщина листов и накладок t = 2 мм.

Решение. Используя формулы (3.1.6) и (3.1.9), рассчитываем потребное количество заклепок:

 из условия прочности на срез

  из условия прочности на смятие

Из полученных результатов видно, что в данном случае решающим явилось условие прочности на смятие. Таким образом, следует взять 16 заклепок.

Задача 3.1.2. Выполнить расчет прикрепления стержня к узловой фасонке (рис. 3.1.6) болтами диаметром d = 2 см. Стержень, поперечное сечение которого представляет собой два одинаковых равнобоких уголка, растягивается силой F = 300 кН.

Материал фасонки и болтов – сталь, для которой расчетные сопротивления равны: на растяжение Rbt = 200 МПа, на срез Rbs = 160 МПа, на смятие Rbр = 400 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,75. Одновременно рассчитать и назначить толщину листа фасонки.

 

 Решение. Прежде всего необходимо установить номер равнобоких уголков, составляющих стержень, определив потребную площадь поперечного сечения Anec из условия прочности на растяжение

  Учитывая предстоящее ослабление стержня отверстиями для болтов, следует добавить к площади сечения Anec 15%. Полученной таким образом площади сечения А = 1,15ּ20 = 23 см2 отвечает по ГОСТ 8508–86 (см. Приложение) симметричное сечение из двух равнобоких уголков размерами 75758 мм.

 Производим расчет на срез. Пользуясь формулой (3.1.6), найдем необходимое число болтов

  Остановившись на этом числе болтов, определим толщину δ узловой фасонки, используя условие прочности на смятие (3.1.7),

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ

 Рассмотрим стержень длиной l , сжимаемый силой F. Заданы размеры поперечного сечения, известен материал, из которого изготовлен стержень.

Теоретически, при центральном сжатии в сечении стержня должны появиться нормальные сжимающие напряжения, равномерно распределенные по площади сечения. Это будет иметь место в идеальном случае: ось стержня идеально прямая, сила приложена точно в центре тяжести сечения и направлена по оси, отсутствуют воздействия, направленные поперек оси стержня.

На практике идеального нагружения достичь невозможно – всегда будут иметь место малые возмущения, изгибающие стержень с самого начала. Это могут быть малые отклонения оси от идеальной прямой, воздействие температуры, поперечное воздействие ветра или их сочетания, предусмотреть которые заранее невозможно.

Проектировщик должен быть убежден, что состояние сжатия от малых возмущений резко не изменится – оно будет устойчиво к этим возмущениям.

Оказывается, что если сжимающая сила меньше определенного значения, называемого критическим, то малые возмущения приводят к малым отклонениям стержня от прямой, и, если возмущения исчезают, то стержень возвращается в исходное сжатое состояние, если же возмущения не исчезают, то вызванные ими отклонения несущественны. В этом случае обеспечена устойчивость центрального сжатия. Но, если сжимающая сила достигнет критического значения, то действие малых возмущений становится существенно заметным – стержень получает большие отклонения оси от проектной прямой, т. е. становится сжато-изогнутым и не возвращается в исходное состояние после исчезновения возмущения. Это явление называют потерей устойчивости центрального сжатия или продольным изгибом.

Для длинных стержней такое состояние наступает при сжимающих напряжениях меньших предела пропорциональности – в упругой стадии. Оно опасно для самого стержня, так как он не был рассчитан на действие дополнительного изгибающего момента, но более всего для конструкции, в состав которой он входит – потеря устойчивости одного стержня может быть причиной разрушения всей конструкции, так как в этот момент стержень внезапно выключается из состава конструкции – исчезает необходимая связь.

Сказанное выше определяет важность знания величины критической силы .

 Рассмотрим стержень, шарнирно опертый по концам под действием сжимающей силы в момент потери устойчивости. Ось стержня искривляется – все точки перемещаются на величину .

 Используем дифференциальное уравнение изгиба балки.

 . (2.1)

 Учтем, что в осях  - отрицательные значения, поэтому в (2.1) подставим

Перенесем все члены влево и обозначим

   (2.2)

Тогда получим дифференциальное уравнение потери устойчивости центрально сжатого шарнирно опертого стержня

  (2.3)

Решение уравнения (2.3) имеет вид

   (2.4)

где А и В – постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий:

  (2.5)

  (2.6)

Так как В ¹ 0 (не будет изгиба), то

  (2.7)

 Уравнение (9) является трансцендентным уравнением (неизвестное входит в аргумент тригонометрической функции). Это уравнение имеет множество корней .

 Рассмотрим первое нетривиальное решение с минимальным  Тогда из (2.2) следует

  (2.8)

 Можно сказать, что рассматриваемый стержень теряет устойчивость по одной полуволне синусоиды, а В – амплитуда этого отклонения. Величина В зависит от конкретной причины (возмущения), вызывающей отклонения сжатого стержня от первоначально прямого положения, а так как возмущения неопределенные, то и В остается неопределенной.

 Для вычисления критических сил для стержней с другими закреплениями нужно рассматривать дифференциальное уравнение четвертого порядка. Но, в курсе Сопротивления материалов, поступают следующим образом: для каждого вида закреплений сравнивают длину между точками перегиба (с М = 0) упругой линии при потере устойчивости (свободную длину ) с полуволной синусоиды l для шарнирно опертого стержня  и вводят в (2.8) соответствующую свободную длину

 . (2.9)

 Тогда,

  (2.10)

 Формула Эйлера была выведена в предположении упругих деформаций, когда

 . (2.11)

 Для одинаковых закреплений в двух главных плоскостях нужно брать минимальный момент инерции Imin.

 Здесь введено обозначение минимального радиуса инерции

 Обычно вводится понятие максимальной гибкости стержня

  (2.12)

 Гибкость величины геометрическая. Теперь можно записать

  (2.13)

 Таким образом, формулу Эйлера для величины критической силы можно применить, если

Отсюда можно найти условия для

  (2.14)

Введем обозначение для предельной гибкости

   (2.15)

Эта величина зависит от физических свойств материала стержня. Условие (2.14) перепишем в виде

 . (2.16)

Сложное сопротивление Общий случай действия внешних сил на брус. Внутренние силовые факторы и их эпюры в плоских и пространственных ломаных брусьев. Характерные случаи сложного сопротивления прямого бруса: косой изгиб, внецентренное действие продольной силы, изгиб и кручение. Нормальные напряжения при косом изгибе. Эпюра нормальных напряжений. Силовая и нулевая линии. Наибольшие напряжения. Подбор сечений при косом изгибе.
b26c2da8
Сопротивление материалов