Расчет валов на изгиб с кручением На вал круглого сплошного сечения

Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого профиля (теория В.З. Власова) Понятие о тонкостенных стержнях закрытого и открытого профилей. Особенности стержней с открытым профилем (малая жесткость при кручении). Депланация поперечных сечений. Свободное и стесненное кручение. Основные предпосылки. Нормальное напряжение в сечении при стесненном кручении. Бимомент. Секториальные характеристики сечения. Выбор полюса. Начало отсчета секториальных площадей

Для вала, показанного на рис. 3.2.9, построить эпюру изменения по длине вала величины касательного напряжения в крайней точке поперечного сечения.

Ответ: эпюра τ имеет вид кубической параболы.

Задача 3.2.11. Вал круглого поперечного сечения диаметром 10 см и длиной 3 м закручен на угол 2о. Чему равно наибольшее касательное напряжение τmax, если модуль сдвига материала вала равен G = 8·104 МПа?

Ответ: τmax = 46,5 МПа.

  Задача 3.2.12. Два вала – круглого и кольцевого поперечного сечений, имеющие один и тот же вес, передают одинаковый крутящий момент. В каком из валов наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если отношение внутреннего и наружного диаметров полого вала равно 0,6?

Ответ:  .

Задача 3.2.13. Тонкостенная труба длиной 5 м со средним диаметром 15 см и толщиной стенки 0,25 см закручивается моментами, приложенными по торцам, до величины касательных напряжений τ = 56 МПа. Найти полный угол закручивания трубы, если G = 8·104 МПа.

Ответ: φ = 2,67о.

Задача 3.2.14. Для условий задачи 3.2.3 в предположении, что вал ступенчатый dI = 5,2 см; dII = 6,9 см; dIII = 7,8 см, модуль сдвига материала вала G = 8·104 МПа, построить эпюру углов закручивания, приняв за начало отсчета сечение, где приложен момент М0.

У к а з а н и я

Вначале следует построить эпюру крутящих моментов Тi.

Далее необходимо рассчитать углы закручивания по отдельным участкам вала. Углы закручивания отдельных сечений по отношению к начальному получаются алгебраическим сложением углов закручивания на участках. 

При вычислении углов φi на отдельных участках по формуле (3.2.5) значения Тi берутся с эпюры Тi с учетом знаков. Учитывается и знак отрезков li: для сечений, лежащих справа от условно неподвижного, принимается знак «+», слева – «–».

Ответ: φА = 0; φВ = 0,23о; φС = 0,52о; φD = 0,35о. 

 Динамическая система, деформация которой во времени описывается одним параметром, называется  системой с одной степенью свободы.

 Запишем, используя принцип Даламбера, динамическое равновесие массы m, на которую в произвольный момент времени действует сила инерции, сумма сил  и упругая сила отпора балки при перемещении , равная , где  – коэффициент жесткости балки в точке прикрепления мотора. Величина К численно равна силе, приложенной к балке в этой точке и невызывающей прогиб равный единице. Можно приложить силу  и определить от нее прогиб . Тогда

 (3.9)

Итак

  (3.10)

 Продифференцировав (3.8) дважды по времени, и учтя, что  - прогиб не зависит от времени, получим

 . (3.11)

 Теперь вместо (3.10), получим

   (3.12)

 Далее учтем, что по закону Гука

  . (3.13)

 Поэтому вместо (3.12) будем рассматривать дифференциальное уравнение для динамической части прогиба  

  (3.14)

или

  (3.15)

 Обозначим  (3.16)

тогда получим дифференциальное уравнение динамического прогиба балки как системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления

  (3.17)

 Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с известной правой частью.

 В математике доказывается, что решение такого уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения

  (3.18)

и частного решения уравнения (3.17).

  Однородное дифференциальное уравнение (3.18) описывает так называемые свободные или собственные колебания упругой системы с одной степенью свободы.

 Свободными колебаниями называются колебания, совершаемые под действием сил инерции и сил упругого отпора – без влияния внешних сил. Свободные колебания вызываются начальными воздействиями. Например, можно медленно отодвинуть массу от положения равновесия и затем отпустить. При этом начальные условия будут иметь вид

  (3.19)

 Можно поступить иначе – толкнуть массу. При этом массе сообщается начальная скорость V0 и начальные условия будут иметь вид

  (3.20)

 Известно, что решение уравнения (3.18) можно рассматривать в двух формах

  (3.21)

или

  (3.22)

 В той и другой форме участвуют две постоянные интегрирования (А и В) или , которые можно определить из начальных условий (3.19) или (3.20) или их комбинаций.

 Таким образом, собственные колебания (3.22) совершаются по закону синусоиды с амплитудой А1 и круговой частотой

  (3.23)

 Известно, что функции в выражении (3.21) имеют общий период . Периодом Т колебаний называется отрезок времени (цикл) через который система приходит в то же состояние, что и в начале отрезка

 Отсюда,

  (3.24)

  (3.25)

 Таким образом, круговая частота собственных колебаний есть число циклов колебаний за секунд.

 Коэффициент А1 характеризует размер колебаний и носит название амплитуды колебания, - начальная фаза колебаний.

 Найдем частное решение (3.17), учтя, что функция  имеет вид (3.6).

Изгиб и растяжение (сжатие) плоского кривого бруса Понятие о кривом брусе большой и малой кривизны. Эпюры внутренних силовых факторов. Нормальные напряжения в поперечном сечении при чистом изгибе в главной плоскости. Эпюры нормальных напряжений. Определение положения нулевой линии для некоторых видов поперечных сечений бруса. Нормальные напряжения от продольной силы.
Гидромеханика, Газовая динамика и Аэродинамика